余数同余问题是数学运算考查的传统重点，也是考生犯难的难点题型。在解决这类问题时，根据余数有无规律我们可以进行分类，有一定的规律可以适用我们的规律，同余口诀如下：

余数取余，和同加和，差同减差，公倍数作周期。

（1）余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n＋1

（2）和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n＋7

（3）差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n－3

选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。

注意：n的取值范围为整数，既可以取负值，也可以取零值。

【例1】疫情期间，爱心人士向某街道捐赠了两箱防疫物资，内装物资件数相同。街道将两箱物资分别给了甲、乙两个工作组，其中甲工作组除1人拿到4件物资外，其余每人各分得5件；乙工作组除1人拿到6件物资外，其余每人各分得7件。已知每箱物资数量在50到100件之间，则每箱装有防疫物资（    ）件。

A.58       B.62      C.69      D.74

解析：分析题干可知，物资件数满足除以5余4，除以7余6，即满足“差同”，所以防疫物资每箱的件数满足35n－1，因为在50—100之间，只能n＝2，代入得到数字为69。故本题答案选C。

【例2】某市场调查公司3个调查组共40余人，每组都有10余人且人数各不相同。2017年重新调整分组时发现，若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人；若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新招2人。问原来3个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？（    ）

A.2      B.3      C.4      D.5

解析：根据若想分为4个人数相同的小组，至少需要新招1人，说明总人数“除以4余3”；根据若想分为5个人数相同的小组，至少还需要新招2人，说明总人数“除以5余3”。根据口诀“余数取余，公倍数作周期，总人数可以表示为20n＋3”，条件说总人数是40余人，所以总人数应该正好是43人。

在同余问题中，如果不能直接利用口诀，那么可以通过枚举的方式，找到满足条件的一个数字，然后仍然是“公倍数作周期”。这种方法看似烦琐，操作起来其实非常简单。

【例3】某次比赛报名参赛者有213人，但实际参赛人数不足200。主办方安排车辆时，每5人坐一辆车，最后多2人；安排就餐时，每8人坐一桌，最后多7人；分组比赛时，每7人一组，最后多6人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？（    ）

A.低于20%      B.20%—25%之间      C.25%—30%之间      D.高于30%

解析：根据条件已知，实际参赛人数除以5余2，除以8余7，除以7余6。根据差同减差，后两个条件说明实际参赛人数可以表示为56n－1，第一个条件说明尾数应该是2或者7，因为56n－1肯定是奇数，所以尾数只能是7，另外实际人数不足200，n＝1，2，3……分别代入，只有n＝3时，满足条件200以内尾数是7，56×3－1＝167，所以未参赛人数为213－167＝46，占比为46÷213≈22%，故本题答案选B。

【例4】在1000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个？（    ）

A.4      B.5      C.6      D.7

解析：这个题目三个条件没有余同、合同、差同的情况，我们用试值法来找到一个满足条件的情况。满足除以3余2的数字为2、5、8、11……一一尝试，发现第一个满足“除以7余3”的数字是17，那么同时满足前两个条件的数字可以表示为21n＋17，其中的21是3和7的最小公倍数；然后我们在21n＋17的数字中寻找除以11余4的数字，很容易发现59是第一个满足条件的数，所以59是满足题干三个条件的一个数字。于是，所有满足条件的数字可以表示为231n＋59，其中231是3，7，11的最小公倍数。1000以内，n可以取0、1、2、3、4五个数值，一共有5个。故本题答案选B。